\documentclass[12pt]{beamer}
\usepackage{mathtext}%Кирилица в математическом режиме
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}%including cases
\usepackage{graphicx}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
%\usepackage[top=2cm,text={160mm,255mm},centering]{geometry}
%\usepackage[top=1cm,text={277mm,180mm},centering]{geometry}
\newcommand{\parsec}{\hspace{1cm}}
%\parident=1cm
%\newcommand{\ilus}[3]{
%	\begin{figure}[h!]
%		\centering
%		\includegraphics[width=15cm]{#1}
%		\caption{\footnotesize\bfseries #2}
%		\label{#3}
%	\end{figure}
%	{\itshape\bfseries См. график под номером (\ref{#3}) на странице (\pageref{#3}).}
%}
% It uses paper of size 12.80cm,9.60cm with 'beamer' document class
\begin{document}
{
\large
	\begin{center}
	Магистерская диссертация\\
	Студента 7 курса\\
	Зелинского Ивана Сергеевича\\
	«Электромагнитная модель молниевого разряда.»\\
	Научный руководитель: доцент, кандидат физмат наук,\\
	Кононов Игорь Иванович.\\
	\vspace{30mm}
	{
		\small
		Санкт-Петербург\\
		2011 г.\\
	}
	\end{center}
\newpage
}


\begin{frame}
	\frametitle{Модели разряда}
	\framesubtitle{Можно выделить следующие классы моделей}
	\begin{itemize}
	\item Физические:
	\begin{enumerate}
		\item газодинамические 
		\item электромагнитные
		\item вертикальной длинной линии
	\end{enumerate}
	\item Инженерные.
	\end{itemize}
	\textit{Первые} - расчёт токов исходя из физических законов.\\
	\textit{Вторые} - подбор параметров аппроксимации по наблюдаемым свойствам разряда.
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Создание инженерных моделей}
	\framesubtitle{Источники информации}
	\begin{enumerate}
		\item Наблюдение полей молнии в дальней и особенно ближней зоне.
		\item Оптическая регистрация светимости (7200 Hz видео - опубликовано http://www.ztresearch.com/). {\small\itshape Строго говоря, длительность обратного удара примерно равняется частоте съёмки кадров, так что это - не метод. Не обязательно снимать видео.}
		\item Измерение тока в точке соединения канала с землёй: высотные здания, триггерные молнии (ракета с проволокой).
	\end{enumerate}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Масштаб величин}
	\framesubtitle{Характерные значения параметров разряда}
	\begin{itemize}
		\item Максимум спектра: 3-5 кГц для обратных ударов, около 20 кГц для К-импульсов и 30-50 кГц для лидеров.
		\item Амплитудные значения импульсов напряженности электрического на удалении 100 км: 5-10В/м у обратных ударов и 1-2В/м у К-импульсов и лидеров.
	\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Наша инженерная модель}
	\framesubtitle{Математическое определение}
	\begin{description}
		\item[а)] Канал - кривая $\overrightarrow{{{R}_{T}}}(t):[0,1]\mapsto {{\mathbb{R}}^{3}}$
		\item[б)] ток вдоль канала $I = I(t,l), t \in [0,+\infty), l \in [0,L_{max}]$, 
		\item[в)] Ток определяется тремя функциями: $I(t,l)=\Phi \left( t-\tau (l) \right)\xi (l)$
	\end{description}
	$\Phi(t)$ - импульс тока, $\tau(l)$ - запаздывание (напр. $l/c$), $\xi(l)$ - ослабление амплитуды по мере продвижения.
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Параметры модели}
	\framesubtitle{Некоторые значения функций, входящих в описание тока.}
	\[\Phi(t) = I_0 \left( \exp(-\alpha t) -\exp(-\beta t)\right)\theta(t)\]
	\[\Phi(t) = I_0~ t^n \exp(-\alpha t)\theta(t)\]
	Раскладывается в Фурье-спектр:
	\[\Phi_\omega = \frac{I_0(\beta - \alpha)}{2\pi(\beta-i\omega)(\alpha-i\omega)}\]
	\[\Phi_\omega = \frac{I_0 n!}{2\pi(\alpha-i\omega)^{n+1}}\]
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Профиль тока, две экспоненты}
	\framesubtitle{$\alpha=10^4$, $\beta=10^5$, $I_0 = 1$.}
	\begin{centering}
		\includegraphics[height=0.7\textheight]{alphabeta.eps}
	\end{centering}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Параметры модели}
	\framesubtitle{Некоторые значения функций, входящих в описание тока.}
	\[\frac{dl}{d\tau}  =  v_0 \exp(-\gamma \tau)\]
из которого следует
	\[\tau(l) =- \frac{1}{\gamma} \ln \left(1 - l \frac{\gamma}{v_0} \right)\]\\
Затухание:
	\[\xi(l) = \exp(-\eta l)\]
\end{frame}



\begin{frame}
	\frametitle{Вычисление полей}
	\framesubtitle{Общее}
	Земля - идеально проводящая поверхность (для частот до 100 КГц и расстояний до 30 Км).\\
	\vspace{5mm}
	Отражение канала - зеркальный канал с обратным знаком тока в каждой точке в каждый момент времени.\\
	\vspace{5mm}
	Реальный источник и его отражение можно рассматривать по-отдельности.
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Геометрия канала}
	\begin{center}
		\includegraphics[height=0.7\textheight]{channel.eps}\\
		Молниевый канал - источник и его отражение.
	\end{center}
\end{frame}



\begin{frame}
	\frametitle{Вычисление полей}
	\framesubtitle{Потенциал Герца $\rightarrow$ E, H}
	\[  \delta\vec{\Pi}_{e\omega} = \frac{i}{\omega} I_\omega(l)\delta l \frac{1}{4\pi} \frac{e^{i k R}}{R}  \]
	\[  \vec{\Pi}_{e\omega} = \frac{i}{4\pi \omega}\int\limits_{\sim\sim} dl~I_\omega(l) \vec{\tau}(l) \frac{e^{i k R}}{R}  \]
	Поля вычисляются применением дифференциальных операторов:
	\[  \vec{E}_\omega = \frac{1}{\varepsilon}\left(k^2\vec{\Pi}_{e \omega} + \nabla \mathbf{div} \vec{\Pi}_{e \omega}\right)  \]
	\[  \vec{H}_\omega = -i\omega\mathbf{rot}\vec{\Pi}_{e\omega}  \]
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Формулы для вычисления полей}
	\framesubtitle{Фурье-спектр компонент E и H}
	{
		\scriptsize
		\[  E_{wj}(\vec{r}) = \frac{ik}{4\pi\varepsilon\omega} \int\limits_{\sim\sim}dl' I_\omega\left(l'\right)\left[ \frac{k e^{ikR}}{R}\left(\tau_j - n_j\left(\vec{\tau},\vec{n}\right)\right) + \frac{ie^{ikR}}{R^2} \left(\tau_j - 3 n_j \left(\vec{\tau},\vec{n}\right)\right)\left(1 + \frac{i}{kR}\right) \right]  \]
	}
	{
		\small
		\[  H_{wj}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}\int\limits_{\sim\sim} dl' I_\omega\left(l'\right)\left[\vec{n},\vec{\tau}\right]_j\frac{e^{ikR}}{R}\left(ik-\frac{1}{R}\right)  \]
	}
	Вычисление этих выражений требует аккуратности. Этому посвящено {\itshape «Приложение 1»} диссертации.
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Фурье}
	\framesubtitle{Вычисление сигналов по их спектрам}
	Для вычисления сигналов по их спектру применяется быстрое преобразование Фурье.
	Для этого требуется найти длительность такую, что перекрыванием сигналов с таким периодом можно пренебречь. Кроме того, следует найти частоту такую, что значения спектра сигнала при более высоких частотах можно отбросить. Это равносильно умножению спектра на $\Pi$ - функцию. \\
	\vspace{1cm}
	При этом, возникает проблема с полюсом $\omega = 0$. Спектр производной поля E по времени не содержит этого полюса.
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Источник ступенчатой формы}
	\framesubtitle{Одна единица равняется двум километрам}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{zagagulja/trajectories.eps}\\
		{\bfseries Кусочно-линейная и гладкая формы канала}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Сигналы}
	\framesubtitle{Расстояние до источника - 30 км, $\alpha = 10^4$ Гц, $\beta = 10^5$ Гц}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{zagagulja/Ezagagulja.eps}\\
		{\bfseries Поле E источника сложной формы.}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Продолжение}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{zagagulja/Hzagagulja.eps}\\
		{\bfseries Поле H источника сложной формы.}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Совмещение}
	\framesubtitle{Сигналы от кусочно-гладкой и ломаной траектории на одном графике}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{zagagulja/E_bezier_zagagulja.eps}\\
		{\bfseries Поле E}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Совмещение}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{zagagulja/H_bezier_zagagulja.eps}\\
		{\bfseries Поле H}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Недипольность}
	\framesubtitle{Оценка отличия полей от тех, что были бы излучены точечным диполем}
	Дифференциальное уравнение для поля E:
	{
		\tiny
		\[\left[\partial^2_t + \left(\frac{c}{r} \frac{sin^2(\theta) - 2cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}
\right)\partial_t + \left(\frac{c^2}{r^2}\frac{sin^2(\theta) - 2cos^2(\theta)}{sin^2(\theta)}\right)\right]P_e(t) = -\frac{2\pi\epsilon_0c^2r}{sin^2(\theta)}E_z\left(t + r/c\right)\]
	}
	для поля H:
	{
		\tiny
		\[\left[\partial^2_t + \left(\frac{c}{r}\right)\partial_t\right]P_e(t) =  \frac{2\pi\epsilon_0c^2Z_0r}{sin(\theta)}H_y\left(t+r/c\right)\]
	}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{Мера}
	\framesubtitle{О мере недипольности}
	Уравнения по измеренным полям восстанавливают дипольный момент такой, что точечный диполь испустил бы именно их.
	
	Для оценки недипольности использовалась L2  норма. Для каждой точки наблюдения вычисляются эквивалентные токи точечного диполя, полученные по полям E и H в этой точке и во всех, что ниже неё. Вычисляется средний сигнал. Вычисляется L2 разница между каждым сигналом и средним. Усреднённая разница даёт величину в процентах, приведённую в верхнем левом углу графика
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Восстановленные токи и отличие в процентах}
	\framesubtitle{Расстояние до наблюдателя - 9 км, поднятие меняется}
	\begin{center}
		{\itshape 1.7\%  - 0 м, 2.8\%  - 1.9 км, 4.6\% – 3.9 км, 21\% – 5.8 км}
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{img_Idl_dist9km.eps}\\
		{\bfseries Эквивалентный ток точечного диполя.}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
	\frametitle{О технической части}
	\framesubtitle{Про программу}
	Язык реализации - С. Среда - ОС Linux, в других UNIX предположительно будет работать. 
	Эффективное использование нескольких процессоров, OpenMP: значение спектра на разных частотах вычисляется параллельно. Файл конфигурации (XML) -> таблица (время, сигнал). Возможность подключения в качестве вычислительного модуля к проектам, нуждающимся в вычислении таких полей.
\end{frame}


\begin{frame}
	\frametitle{Конец}
	\begin{center}
	{\Large Презентация окончена.}
	\end{center}
\end{frame}


\end{document}
